2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 5회 해설집

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 5회 - [문제 1] 예시답안 (1/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

동전을 \(x\)번 던질 때 처음으로 같은 면이 두 번 연속으로 나오는 사건을 \(A_x\)라 하자.

∙ \(x=1\)일 때는 불가능하므로 \(P(A_1) = 0\)
∙ \(x=2\)일 때는 (앞, 앞), (뒤, 뒤)의 \(2\)가지이므로 \(P(A_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5^{2-1}\)
∙ \(x=3\)일 때는 (뒤, 앞, 앞), (앞, 뒤, 뒤)의 \(2\)가지이므로 \(P(A_3) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.5^{3-1}\)

일반적으로 이전 단계까지 교대로 나오다가 \(x\)번째에 직전과 같은 면이 나와야 하므로 \(P(A_x) = 0.5^{x-1}\) \((x=2, 3, \dots, 2022)\)이다.

따라서 동전을 던진 횟수가 \(2022\) 이하일 확률은 등비수열의 합에 의해 다음과 같다:

\[\sum_{x=2}^{2022} P(A_x) = \sum_{x=2}^{2022} 0.5^{x-1} = \frac{0.5(1 - 0.5^{2021})}{1 - 0.5} = \mathbf{1 - 0.5^{2021}} \quad \left(\text{또는 } \mathbf{1 - \frac{1}{2^{2021}}}\right)\]

답: \(1 - 0.5^{2021}\) (또는 \(1 - \frac{1}{2^{2021}}\))

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안

반원의 중심을 \(O\), 부채꼴 \(OPQ\)의 중심각을 \(t\) \((0 < t < \pi)\)라 하자. 코사인법칙 및 부채꼴 넓이에 의해

\[x = \overline{PQ} = \sqrt{1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos t} = \sqrt{2-2\cos t} = 2\sin\frac{t}{2}\]

\[f(x) = \frac{1}{2}(1^2)t - \frac{1}{2}(1^2)\sin t = \frac{1}{2}(t - \sin t)\]

\(x = 1\)일 때 \(2\sin\frac{t}{2} = 1 \implies \frac{t}{2} = \frac{\pi}{6} \implies t = \frac{\pi}{3}\)이다.

매개변수 미분법에 의해 \(\frac{dx}{dt} = \cos\frac{t}{2}\), \(\frac{df}{dt} = \frac{1}{2}(1-\cos t)\)이므로

\[f'(1) = \left. \frac{df/dt}{dx/dt} \right|_{t=\pi/3} = \frac{\frac{1}{2}(1-\cos\frac{\pi}{3})}{\cos\frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{6}}\]

답: \(\frac{\sqrt{3}}{6}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 5회 - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

\(f(x) = \ln(\ln(x+e))\)의 도함수는 \(f'(x) = \frac{1}{(x+e)\ln(x+e)}\)이다. 한 번 더 미분하면

\[f''(x) = -\frac{\ln(x+e) + 1}{(x+e)^2(\ln(x+e))^2}\]

모든 \(x > 0\)에 대해 \(x+e > e > 1\)이므로 \(\ln(x+e) > 1 > 0\)이다. 따라서 \(f''(x) < 0\)이므로 도함수 \(f'(x)\)는 엄격히 감소한다.

일반성을 잃지 않고 \(a \ge b > 0\)이라 하자. 평균값 정리에 의해

\[\frac{f(a+b) - f(a)}{b} = f'(z) \quad (\exists z \in (a, a+b))\]

\[\frac{f(b) - f(0)}{b} = f'(w) \quad (\exists w \in (0, b))\]

\(f(0) = \ln(\ln e) = \ln 1 = 0\)이다. 구간의 위치 관계에 의해 \(0 < w < b \le a < z < a+b\)이므로 \(w < z\)이다.

\(f'\)이 감소함수이므로 \(f'(w) > f'(z)\)이다. 따라서

\[\frac{f(b)}{b} > \frac{f(a+b)-f(a)}{b} \implies f(a+b) < f(a) + f(b)\]

그러므로 모든 양의 실수 \(a, b\)에 대하여 부등식이 항상 성립한다. [증명 완료]

[문제 1] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
1-1	사건 \(A_x\)의 확률이 공비 \(0.5\)인 등비수열임을 파악하였는가?	10점
1-1	등비수열의 합 공식을 적용하여 확률 \(1-0.5^{2021}\)을 정확히 도출했는가?	10점
1-2	현의 길이와 활꼴의 넓이를 중심각 \(t\)에 대한 매개변수 방정식으로 표현했는가?	20점
1-2	매개변수 미분법을 활용하여 \(f'(1) = \frac{\sqrt{3}}{6}\)을 정확히 구하였는가?	20점
1-3	이계도함수를 계산하여 도함수 \(f'(x)\)가 감소함수임을 밝혔는가?	15점
1-3	두 구간에 대한 평균값 정리를 적용하여 부등식 \(f(a+b)	25점

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 5회 - [문제 2] 예시답안 (1/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

쌍곡선의 방정식을 표준형으로 정리하면 \(\frac{x^2}{5/2} - \frac{y^2}{27/2} = 1\)이다. 초점의 \(x\)좌표를 \(c > 0\)이라 하면

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{27}{2}} = \sqrt{16} = 4 \implies F(4, 0), \quad F'(-4, 0)\]

\(p = \overline{AF}, q = \overline{AF'}\)이라 하면, 쌍곡선의 정의와 코사인법칙에 의해

\[q - p = 2a = \sqrt{10}, \quad \cos(\angle F'AF) = \frac{p^2 + q^2 - 8^2}{2pq} = \frac{7}{25}\]

\(q = p + \sqrt{10}\)을 대입하여 정리하면 \(2p^2 + 2\sqrt{10}p - 75 = 0\)이다. \(p > 0\)이므로

\[p = \frac{3\sqrt{10}}{2}, \quad q = \frac{5\sqrt{10}}{2}\]

점 \(A(x_0, y_0)\)에 대하여 \(\overline{AF'}^2 - \overline{AF}^2 = (x_0+4)^2 + y_0^2 - ((x_0-4)^2 + y_0^2) = 16x_0 = \frac{125}{2} - \frac{45}{2} = 40 \implies x_0 = \frac{5}{2}\)이다. \(y_0^2 = \frac{45}{2} - \left(\frac{5}{2}-4\right)^2 = \frac{81}{4} \implies y_0 = \frac{9}{2}\)이므로

\[A\left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right)\]

원점 대칭성에 의해 제\(3\)사분면의 점 \(B\)의 좌표는 \(B\left(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2}\right)\)이다.

답: \(A\left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right), \quad B\left(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2}\right)\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안 (1/2)

타원 위의 점 \(P(t, s)\)에서의 접선의 방정식은 \(\frac{t}{a^2}x + \frac{s}{b^2}y = 1 \implies b^2 t x + a^2 s y - a^2 b^2 = 0\)이다.

원점으로부터 접선까지의 거리의 제곱 \(f(t)\)는 다음과 같다:

\[f(t) = \frac{a^4 b^4}{b^4 t^2 + a^4 s^2} = \frac{a^4 b^4}{b^4 t^2 + a^4 b^2(1 - t^2/a^2)} = \frac{a^4 b^2}{a^4 + (b^2-a^2)t^2}\]

\(c^2 = a^2 - b^2\) (\(b < a\))를 사용하면 \(f(t) = \frac{a^4 b^2}{a^4 - c^2 t^2} = \frac{a^2 b^2}{2} \left( \frac{1}{a^2-ct} + \frac{1}{a^2+ct} \right)\)이다.

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 5회 - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-2 (계속) 및 2-3] 해설 및 모범 답안

[2-2 적분 계산] \(\int \frac{1}{a^2 \pm ct} dt = \pm \frac{1}{c}\ln|a^2 \pm ct|\)이므로

\[\int_0^a f(t) \, dt = \frac{a^2 b^2}{2c} \left[ \ln(a^2+ct) - \ln(a^2-ct) \right]_0^a = \frac{a^2 b^2}{2c} \ln\frac{a+c}{a-c}\]

\(b = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)일 때 \(c = \sqrt{a^2 - \frac{3}{4}a^2} = \frac{a}{2}\), \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)이므로 \(\frac{a^2 b^2}{2c} = \frac{3}{4}a^3\)이고 \(\frac{a+c}{a-c} = 3\)이다.

\[\frac{1}{a^3} \int_0^a f(t) \, dt = \frac{1}{a^3} \left( \frac{3}{4}a^3 \ln 3 \right) = \mathbf{\frac{3}{4}\ln 3} \quad \text{답: } \mathbf{\frac{3}{4}\ln 3}\]

[2-3 거리 곱 계산] 두 초점 \(F_1(c, 0), F_2(-c, 0)\)과 타원 위의 점 \(P(t, s)\)에 대하여

\[\overline{PF_1}^2 = (t-c)^2 + s^2 = t^2 - 2ct + c^2 + b^2\left(1-\frac{t^2}{a^2}\right) = \frac{(a^2-ct)^2}{a^2} \implies \overline{PF_1} = a - \frac{c}{a}t\]

\[\overline{PF_2}^2 = (t+c)^2 + s^2 = \frac{(a^2+ct)^2}{a^2} \implies \overline{PF_2} = a + \frac{c}{a}t\]

따라서 거리의 곱은 \(h(t) = \overline{PF_1} \times \overline{PF_2} = a^2 - \frac{c^2}{a^2}t^2 = \frac{a^4 - c^2 t^2}{a^2}\)이다.

[문항 2-2]에서 구한 \(f(t) = \frac{a^4 b^2}{a^4 - c^2 t^2}\)와 곱하면 다음과 같다:

\[f(t) \times h(t) = \frac{a^4 b^2}{a^4 - c^2 t^2} \times \frac{a^4 - c^2 t^2}{a^2} = \mathbf{a^2 b^2}\]

답: \(a^2 b^2\)

[문제 2] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
2-1	쌍곡선의 정의와 코사인법칙을 연립하여 초점 거리 \(\overline{AF}, \overline{AF'}\)을 도출하였는가?	15점
2-1	원점 대칭성을 이용하여 두 점 \(A(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}), B(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2})\)의 좌표를 정확히 구했는가?	15점
2-2	타원의 접선 거리 제곱 함수 \(f(t)\)를 부분분수로 분해하고 정적분을 수행하였는가?	20점
2-2	조건 \(b=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)를 대입하여 극한값/적분값 \(\frac{3}{4}\ln 3\)을 완벽히 계산했는가?	20점
2-3	두 초점까지의 거리 공식 \(\overline{PF_1}, \overline{PF_2}\)를 좌표와 타원 식으로부터 정확히 유도하였는가?	20점
2-3	\(f(t) \times h(t)\)를 계산하여 상수식 \(a^2 b^2\)으로 깔끔하게 정리하였는가?	10점